Zahlsysteme

Jede natürliche Zahl n läßt sich eindeutig als Summe von Vielfachen von Potenzen einer bestimmten Basis b darstellen, wobei die Koeffizienten (Faktoren vor den Potenzen) kleiner als b sind:

nb = A·b0 + B·b1 + C·b2+ D·b3+ E·b4+ ....... (mit A, B, C, D, E < b)

 

In der Stellenwert-Schreibweise steht der Koeffizient der höchsten Potenz zuerst: ...EDCBA. Umgekehrt ist durch jede solche Darstellung genau eine natürliche Zahl n bestimmt.

 

1. Dezimalsystem: Basis b=10

n10 = A·100 + B·101 + C·102+ D·103+ E·104+ .......
(A, B, C, D, E,.. liegen zwischen 0 und 9)

 

Beispiel:

47 532 = 2·100 + 3·101 + 5·102+ 7·103+ 4·104 =2 + 30 + 500 + 7000 + 40000

 

2. Dualsystem: Basis b=2

n2 = A·20 + B·21 + C·22+ D·23+ E·24+ .......
(A, B, C, D, E, ... sind 0 oder 1)

 

Beispiele:

2710 = 1·24 + 1·23 + 0·22+ 1·21+ 1·20 = 1·16 + 1·8 + 0·4 + 1·2 + 1·1 = 110112

101012 = 1·24 + 0·23 + 1·22+ 0·21+ 1·20 = 1·16 + 0·8 + 1·4 + 0·2 + 1·1 = 2110

Um eine Dezimalzahl in eine Dualzahl umzuwandeln, subtrahiert man fortgesetzt die höchstmögliche Zweier-Potenz. Beispiel: 43

25 = 32
24 = 16
23 = 8
22 = 4
21 = 2
20 = 1

43

11

11

3

3

1

-32

-16

-8

- 4

- 2

- 1

= 11

geht nicht

= 3

geht nicht

= 1

= 0

1
0
1
0
1
1

Die duale Darstellung läßt sich auch nach folgendem Verfahren bestimmen:

man teilt die Dezimalzahl fortgesetzt durch 2 und schreibt den Divisionsrest von oben nach unten auf. Am Schluß kippt man die erhaltene Spalte nach rechts und erhält die gesuchte Dualzahl.

Beispiel:

Verwandle 197810 in eine Dualzahl !

1978

:2

Rest 0

= 989

:2

Rest 1

= 494

:2

Rest 0

= 247

:2

Rest 1

= 123

:2

Rest 1

= 61

:2

Rest 1

= 30

:2

Rest 0

= 15

:2

Rest 1

= 7

:2

Rest 1

= 3

:2

Rest 1

= 1

Rest 1

also: 197810 = 111101110102

 

3. Hexadezimalsystem: Basis b=16

Jeder Stelle im hexadezimalen Stellensystem ist eine Sechzehner-Potenz zugeordnet.

n16 = a·160 + b·161 + c·162+ d·163+ e·164+ .......
mit 0 < a, b, c, d, e,..... < 16

Im Hexadezimalsystem werden 16 Ziffern benötigt. Hierzu verwendet man die 10 Ziffern 0 bis 9 und die 6 Buchstaben A (=10), B (=11), C (=12), D (=13), E (=14) und F (=15).

Beispiele:

a) Verwndle A24F16 in eine Dezimalzahl

10·163+ 2·162+ 2·161+ 15·160 = 10·4096 + 2·256 + 4·16 + 15·1 = 41.51110

b) Verwandle 41 51110 in eine Hexadezimalzahl

163 = 4 096
10*4 096 = 40960
162 = 256
2*256 = 512
161 = 16
2*16 = 32
160 = 1
7*1 = 7

41 511

551

39

7

- 40960

- 512

- 32

- 7

= 551

= 39

7

0

A
2
2
7
also: 41 51110 = A22716

c) Verwandle 68 65110 in eine Hexadezimalzahl

164 = 65 536
163 = 4 096
10*4 096 = 40960
162 = 256
12*256 = 3072
161 = 16
2*16 = 32
160 = 1
11*1 = 11

68 651

3 115

3 115

43

11

- 65 536

- 4 096

- 3 072

- 32

- 7

= 3 115

geht nicht

= 43

11

0

A
0
C
2
B

 

Aufgabe 1: gib als Dualzahl an:

a) 23 b) 145 c) 698 d) 2537

Aufgabe 2: gib als Dezimalzahl an:

a) 1010 b) 110011 c) 10101100 d) 111000111

Aufgabe 3:

Wie lautet die größte Dezimalzahl, die sich mit einer

a) 12-stelligen b) 20-stelligen Dualzahl darstellen läßt ?