1. Die Kantenlänge K wird jeweils halbiert: K_n = K₁*(1/2)^n-1 (n>1)
2. K₁ = 0,5cm*2⁴ = 8 cm

3. Die ersten 5 Schritte:

4. Die Papierdrachen werden immer kleiner. Grenzwert der Iteration ist ein Punkt.

5.  

1. Schritt: L

2. Schritt: LLR

3. Schritt: LLRLLRR

4. Schritt: LLRLLRRLLLRRLRR

5. Schritt: LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR

6.

1. Schritt (n=1): k=1

2. Schritt (n=2): k=3

3. Schritt (n=3): k=7

4. Schritt (n=4): k=15

5. Schritt (n=5): k=31

allgemein (n³1): k_n+1 = 2*k_n + 1 oder k_n = 2_n - 1

7. Beim 4. Schritt kommt erstmals eine geschlossene Masche vor, dann in allen.

8. Es treten niemals Überschneidungen auf.

9. Die mittlere Falte ist stets L; sie entspricht der ersten Faltung des Blattes nach links.

10.

1. Bildungsgesetz ("Reflektionsgesetz")

a) vorangehende Folge kopieren

b) L anhängen

c) jedes Symbol vor L invertieren (LÆR, RÆL)

2. Bildungsgesetz:

alternierendes Einfüllen von L und R

11. Es treten höchstens 3 gleiche Symbole nacheinander auf: LLL oder RRR (vgl. 8)

12. Die Folge ist nicht periodisch.

13. Das Ergebnis jeder Faltung (Output) bildet den Ausgangszustand (Input) für die folgende Faltung.

Es gibt ein geometrisches Konstruktionsverfahren, das die jeweils folgende Faltung liefert, jedoch bis auf den Maßstab (Kantenlänge) und die Orientierung.

14., 15.

16.

Das Konstruktionsverfahren für die nächste Iterationsstufe besteht darin, daß die Kanten durch rechtwinklige Dreiecke (mit abwechselnder Orientierung) ersetzt werden.

Die vorherige Iterationsstufe ergibt sich entsprechend durch Weglassen von Dreiecken, oder auch durch Verbinden ungerader Ecken.

17. Die Gesamtgröße bleibt konstant ! Die Kantenlänge des folgenden Schritts ist: (und nicht K/2 )

18. Die erste Hälfte (bis zum mittleren L) ist fett gezeichnet:

 

19.

Die beiden Hälften jedes Linienzugs sind kongruent (um 90° gedreht).

20.

Logarithmische Spiralen besitzen ebenfalls die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit.

21. Es entsteht eine logarithmische Spirale; in Polarkoordinaten (r,j) gilt:

21a. Eine logarithmische Spirale besonderer Art erhält man durch folgende Konstruktion:

von einem Rechteck (a>b) wird das Quadrat (b) abgeschnitten,

von dem verbleibenden Rechteck (b>a-b) das Quadrat (a-b)

von dem verbleibenden Rechteck (a-b>2b-a) das Quadrat (2b-a)

22.

23. Welche "Dimension" hat die Drachenkurve ?

Die Dimension der Drachenkurve beträgt also 2, d.h. sie ist flächenfüllend ! Aneinander gelegte Drachen füllen (parkettieren) die gesamte Ebene.

Zwei Drachen, der eine um 180° gedreht, lassen sich an den freien Enden zusammenfügen ("Zwillingsdrachen"):

24.

25.

26.

Das Verhältnis wird kleiner und scheint gegen 2 zu konvergieren.

27.

Eine geschlossene Masche kann auch ohne LLL- oder RRR-Sequenz (fett) entstehen, z.B. durch die Folge RLLR, die durch ein vorhergehendes Kantenstück geschlossen wird.   LLRLLRRLLLRRL RRLLL RLLR RRL LRRLRR

28.

29.

30. Mit der Kantenlänge K₁ = 80 Pixel und Skalierungsfaktor